Tento dokument obsahuje analýzu kalmanovho filtra hráča, ktorý bol implementovaný tímom BAREKO 2017 v rámci tímového projektu na FIIT.

Kalmanov filter je algoritmus, ktorý používa sériu meraní pozorovaných v priebehu času, obsahujúcich štatistický šum a iné nepresnosti na odhad premenných v širokom spektre procesov. Je široko používaný pre spracovanie signálov, navigáciu a iné úlohy. Predpoklad pre využitie kalmanovho filtra je linearizovaný systém, alebo systém transformovaný na lineárny.

1. Lineárne systémy

V uvedených rovniciach pre lineárne systémy platí:

• A,B a H sú matice
• k je časový index
• x je stav systému
  • vektor x obsahuje všetky dostupné informácie o systéme
  • nie je možné ho merať
• u je známy vstup
• w je procesný šum
• z je merací šum

Stavová rovnica prechodu:

x_k+1 = Ax_k + Bu_k + w_k

Rovnica výstupu:

y_k = Hx_k + z_k

Keďže pohyb hráča je priamočiary, môžeme povedať že stav pozostáva z jeho polohy p a rýchlosti v. Vstupná veličina u je nariadené zrýchlenie a výstupná veličina je meraná poloha. Pri meraniach v časových intervaloch T_s sekúnd bude rýchlosť definovaná rovnicou:

v_{k + 1} = v_k + T_s u_k

Avšak táto rýchlosť bude ovplyvnená šumom. Šum rýchlosti je náhodnou premennou, ktorá sa mení s časom. Preto realistickejšie zapísaná rovnica vyzerá nasledovne:

v_{k + 1} = v_k + T_s u_k + ~v_k

kde ~v_k je šum rýchlosti. Podobnú rovnicu je možne odvodiť aj pre polohu p:

p_k+1 = p_k + T_s v_k + T_s²u_k + ~p_k

de~p_k je šum rýchlosti . Na základe čoho môžeme definovať stavový vektor, ktorý pozostáva z polohy a rýchlosti: Xk += (pk vk)

Keďže je meraná výstupná veličina úmerná polohe, je možné do rovníc za premenné A,B a H dosadiť nasledovné matice:

pričom platí, že matica A sa nazýva predikčná matica a matica B sa nazýva riaiaca matica.

Taktiež je potrebné si uvedomiť, že v rovniciach (modelu systému) v úvode vystupujú dve premenné w je šum v procese a z je šum v meraní. Taktiež je ďalej možné skonštatovať, že neexistuje korelácia medzi w a z, teda v akomkoľvek čase k, w_k a z_k sú nezávislé náhodné premenné. Potom je možné zadefinovať kovariančné matice šumu Q a R ako:

Kovariancia šumu v procese:

Q = (w_kw_k^T)

Kovariancia šumu v meraní:

R = (z_k z_k ^T )

kdew^T az^T označujú transpozíciu náhodných vektorov šumov. Teraz je možné použiť Kalamnové rovnice.

Kalmanov filter sa delí na 2 fázy: Predikčnú, ktorej sa robí odhad ako predikcia z predchádzajúceho najlepšieho odhadu plus korekcia. Táto fáza obsahuje dve rovnice. Druhá fáza je korekčná fáza, ktorá obsahuje tri rovnice. Ich tvar môžeme vidieť na nasledujúcom obrázku.

Kalmanov filter je implementovaný v triede KalmanReal, v balíku sk.fiit.jim.agent.kalman. V triede sa nachádzajú dve hlavné metódy:

• public void predict() * táto metóda obsahuje rovnice prvej predikčnej fázy kalmanovho filtra *
• public void update(RealVector z) * táto metóda obsahuje rovnice z druhej korekčnej fázy kalmanovho filtra

Tento dokument obsahuje analýzu kalmanovho filtra, ktorý implementoval tím BAREKO 2017. Na základe tejto analýzy však zatiaľ nedokážem navrhnúť optimalizáciu kalmanovho filtra, keďže v dokumentácií predchádzajúceho tímu sa žiadna možnosť optimalizácie nespomína.